| Ergänzendes Material zum Selbststudium |
| Mathematische Grundlagen |
Mengenlehre Element, Menge, Tupel, Mächtigkeit, Teil- und Obermenge, Potenzmenge, Vereinigung, Schnittmenge, Differenz, Komplement, Partition, kartesisches Produkt
Relationen und Funktionen Relation, Funktion, Funktionsgraphen, injektiv, surjektiv, bijektiv, n-äre Funktionen
Algebren
Mengenlehre als Grundlage von: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Zahlentheorie, Aussagenlogik, Algebra, Analysis, formale Sprachen, Komplexitätstheorie, Kryptographie
Grundbegriffe Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, »große« Operatoren, Distributivgesetz, Relation, Funktion, Abbildung
Beweise es gibt irrationale Zahlen, die Menge der natürlichen Zahlen ist gleich groß wie die Menge alle Brüche, die Menge der rationalen Zahlen ist größer als die Menge der natürlichen Zahlen, Satz von Cantor
Ergänzungen Russelsche Antimonie, zweite Cantorsche Antimonie, Mächtigkeit unendlicher Mengen
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| Graphentheorie |
Grundlagen, sofern Sie im Statistik-Unterricht von Interesse sind.
Einführung Knoten, Kanten, Wege, Graphen
Bäume Wurzel, Blätter, Teilbaum, Elternknoten, Kindknoten, Geschwisterknoten
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| Logarithmen |
Grundlagen, sofern Sie im Statistik-Unterricht von Interesse sind.
Umkehrfunktionen der Potenzfunktion
Logarithmische Skalierung
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| Faltung |
Grundlagen, sofern Sie im Statistik-Unterricht von Interesse sind.
Rohdaten-Funktion und Geräte-Funktion
Faltung in der Statistik Kerndichteschätzer, Zentraler Grenzwertsatz als Ergebnis wiederholter Selbstfaltung
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| Grundlagen der Statistik (Statistik im 1. Semester, 5 ECTS) |
| Kombinatorik |
Permutationen mit und ohne Zurücklegen/Wiederholung
Variationen mit und ohne Zurücklegen/Wiederholung
Kombinationen mit und ohne Zurücklegen/Wiederholung
Entscheidungsmatrix
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| Deskriptive Statistik |
Grundbegriffe Statistik, Statistische Einheiten, Erhebungseinheiten, Merkmalsträger, Merkmale, statistische Variablen, Ausprägungen, Merkmalsausprägungen, Grundgesamtheit, Stichprobe, Zufallsstichprobe
Merkmalstypen Diskret vs. stetig, Messskalen (nominal-, ordinal-, intervall- und verhältnisskaliert), Eigenschaften der Messskalen, qualitativ vs. quantitativ, häufbare und nichthäufbare Merkmale
Univariate Verteilungen Urliste, absolute und relative Häufigkeiten, graphische Darstellungen
Lagemaße Modus, Modalwert, Median, Zentralwert, Durchschnitt, Mittelwert, arithmetisches Mittel, gewichtetes arithmetisches Mittel, Quadratisches Mittel, Kubisches Mittel, geometrisches Mittel, Harmonisches Mittel, Hölder-Mittel, Potenzmittel, andere Mittelwerte
Streumaße Minimum und Maximum, Spannweite, Streubreite, Streumaße die zum Median gehören, Interquartilsabstand, Quantilsabstand, Mittlere absolute Abweichung vom Median, Median der absoluten Abweichung vom Median, Mittlere absolute Abweichung vom Mittelwert, Varianz = Mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert, Standardabweichung, Varianz und Standardabweichung einer Stichprobe, Variationskoeffizient, Absolute Durchschnittsdifferenz, Relative absolute Durchschnittsdifferenz
Formmaße gewöhnliche und zentrale Momente, Momente einer Stichprobe, Schiefe (Momentschiefe, Momentenkoeffizient), Wölbung (Exzess, Kurtosis), andere Formmaße
Konzentrationsmaße Lorentz-Kurve, Gini-Koeffizient
Mulitvariate Verteilungen Korrelation und Kausalität, Lineare Korrelation, Ausgleichsgerade durch Nullpunkt und Schwerpunkt, Ausgleichsgerade mit 2 Parametern, Orthogonale Regression, Simpson-Paradoxon
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| Statistische Grafik |
Säulendiagramm gruppiert, gestapelt, Anteilsdiagramm, 3D-Version
Balkendiagramm Streifendiagramm
Histogramm mit konstanter und variabler Intervallbreite
Kreisdiagramm (Tortendiagramm) explodierte Diagramme, Halbkreis, Ring, 3D-Version, Mischformen
Liniendiagramm
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| Diagrammtypen (Excel) |
Tabellenblätter: Säulendiagramme, Balkendiagramme, Streifendiagramme, Liniendiagramme, Flächendiagramme, Kreisdiagramme, Histogramme
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| Vorlagen für Python-Diagramme (zip) |
Python-Programme Säulendiagramm, Balkendiagramm, Stapeldiagramm, Zeitreihendiagramm, Liniendiagramm mit Füllung, Histogramm, Histogramm variabel, Kreisdiagramm, Streudiagramm, tooltip, 3D_scatterplot, mehrteiliges Diagramm, Echtzeit-Diagramm, Simpson-Paradoxon
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| Angewandte Statistik (Statistik im 2. Semester, 5 ECTS) |
| Wahrscheinlichkeitsrechnung |
Grundbegriffe Zufallsexperiment, Elementarereignis, Ereignismenge, Ereignis, Das sichere und das unmögliche Ereignis, Gegenereignis, Vereinbare und unvereinbare Ereignisse, Laplace-Experiment
Wahrscheinlichkeit Kolmogorow-Axiome, Wahrscheinlichkeiten von Laplace-Experimenten, Rechenregeln und Gesetzmäßigkeiten für Wahrscheinlichkeiten, (Gegenereignisses, unmögliches Ereignis, Teilereignisses), Monotonie, Additionsregeln (für unvereinbare und vereinbare Ereignisse)
Bedingte Wahrscheinlichkeiten Notation, Multiplikationssatz, Satz von Bayes, Abhängige und unabhängige Ereignisse, Multiplikationssatz für unabhängige Ereignisse
Totale Wahrscheinlichkeit Formel für die totale Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeitsbäume Totale Wahrscheinlichkeit im Wahrscheinlichkeitsbaum
Wahrscheinlichkeiten mit Mengen rechnen Satz von Bayes mit Mengen rechnen
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| Zufallsvariablen |
Diskrete Zufallsvariablen Notation, Beispiel, Wahrscheinlichkeitsfunktion, Diskrete Verteilungsfunktion, Eigenschaften einer diskreten Verteilungsfunktion
Stetige Zufallsvariablen Beispiel Gleichverteilung, Wahrscheinlichkeitsdichte statt Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, Stetige Verteilungsfunktion
Erwartungswert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung diskret und stetig, Der Erwartungswert ist linear, Multiplikations-Invarianz
Varianz und Standardabweichung Entartete Wahrscheinlichkeitsverteilung, Momente einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, Schiefe, Kurtosis (Wölbung), Verhalten bei linearer Transformation, Standardisierte Zufallsvariablen, Varianz der Summe zweier Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Covarianz), Korrelation, Maximale Covarianz, Tschebyschowsche Ungleichung
Gesetz der großen Zahlen Satz von Bernoulli, Fundamentalsatz der Statistik
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| Diskrete Verteilungen |
Hypergeometrische Verteilung Beispiel, Formel, Erwartungswert, Varianz
Binomialverteilung Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Kette, Beispiel, Formel, Erwartungswert, Varianz, Binomialverteilung als Näherung für die hypergeometrische Verteilung
Poisson-Verteilung Poisson-Prozess, der Parameter 𝝀, Beispiel, Formel, Erwartungswert, Varianz, Poisson-Verteilung als Näherung für die Binomialverteilung
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| Stetige Verteilungen |
Normalverteilung Dichte- und Verteilungsfunktion, Allgemeine Formel, Wichtige Eigenschaften, Standardnormalverteilung, Wichtige Quantile, Beispiel Körpergröße, Additionssatz der Normalverteilung
Zentraler Grenzwertsatz Beispiel Augensumme mehrerer Würfel
Normalverteilung als Näherung Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung und der Poissonverteilung
Chi-Quadrat-Verteilung Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, Verteilungsfunktion, Beispiel
Studentsche Verteilung (t-Verteilung) Verwendung, Herleitung, Formel
Fisher-Verteilung (F-Verteilung) Interpretation und Verwendung
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| Schätzverfahren |
Schätzfunktionen Schätzer, Punkt-Schätzer, Intervallschätzer
Güte von Schätzfunktionen Unverzerrtheit (Erwartungstreue), Effizienz, Konsistenz
Konstruktion einer Schätzfunktion Kleinste Quadrate, Maximum Likelihood
Punktschätzung Typische Punktschätzer, Schätzer für das arithmetische Mittel, Schätzer für die Varianz, Schätzer für einen Anteilswert
Wichtige Eigenschaften von Punktschätzungen Unmöglichkeit die Qualität der Schätzung abzuschätzen, Voraussetzung für Intervallschätzung
Erstellen eines Konfidenzintervall (Grundidee) Inklusionsschluss, Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Intervall, Intervall mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit
Konfidenzintervall für das arithmetische Mittel Konfidenzintervall für das arithmetische Mittel wenn 𝝈 bekannt ist und wenn 𝝈 nicht bekannt ist
Konfidenzintervall für den Abstand zweier Grundgesamtheiten Wenn die Varianzen beider Grundgesamtheiten bekannt sind, und wenn sie gleich, aber unbekannt sind
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| Hypothesentests |
Hypothesentest Hypothese und Theorie, Nullhypothese und Alternativhypothese, Testfunktion, beibehalten, verwerfen und annehmen
Ein- und zweiseitige Tests Einseitige Tests (Bereichstests), Zweiseitige Tests (Punkttests)
Signifikanzniveau 𝜶- und 𝜷-Fehler (Fehler 1. und 2. Art)
Gütefunktion
p-Wert
Binomialtest Güte, Gütefunktion
t-Test Ein-Stichproben-t-Test, Zwei-Stichproben-t-Test, Paarweiser t-Test
Chi-Quadrat-Test und G-Test Chi-Quadrat-Test auf Anpassungsgüte und auf Unabhängigkeit
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| Korrelationsanalysen |
Pearson-Korrelationskoeffizien (r) Regrssionsgerade, Berechnung, Voraussetzung, Interpretation
Bestimmtheitsmaß (R2) Was sagt der Wert aus? Beispiele
Rangkorrelationskoeffizient Spearmansche Rangkorrelation: Berechnung, Interpretation, Voraussetzung
Kontingenztabelle = Kreuztabelle Erklärung anhand eines Beispiels, bedingte Häufigkeiten berechnen, Abhängigkeiten erkennen
Chi-Quadrat-Koeffizient Herleitung und Berechnung anhand eines Beispiels
Normierter KontingenzkoeffizientBerechnung ausgehend vom Chi-Quadrat-Koeffizient, Normierung, Interpretation
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| Computer Science (5 ECTS) |
| overview |
brief overview
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| modeling |
What is a model? How do you make a model? Degree of accuracy, properties of a good model
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| semiotics (pptx) |
Semiotic triangle syntax, semantics, pragmatics
Syntax definition, examples, syntax tree
Signs definition, examples
Semantics definition, examples
Pragmatics definition, examples, sender and receiver of a message, interpretation
Syntax vs. Semantics sequecens of signs vs. meaning
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| formal languages and automata 1 |
Definitions sign, alphabet, word, Kleene closure, grammar, language, automaton
Chomsky Hierarchy overview (type 1 to type 3)
Type 3 grammars, languages, automata and expressions regular grammars, regular expressions, finite state machines, determinism (oracle), pumping lemma, practical applications
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| formal languages and automata 2 |
Type 2 grammars, languages and automata context-free grammars, pushdown automata (tape, head, state machine, stack; deterministic vs. non-deterministic), practical applications
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| formal languages and automata 3 |
Type 1 grammars, languages and automata context sensitive grammars, linear bounded automata
Type 0 grammars, languages and automata unrestricted grammars, Turing machines (deterministic and non-deterministic), Church-Turing thesis
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| Komplexität (pptx) (de) |
Deutsche Version von complexity (pptx)
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| complexity (pptx) (en) |
Cost of an algorithm Time and space (memory), efficiency, estimate performance, solvable in reasonable time?
Models model of the computer (Turing machine, elementary operations), model of the algorithm (computer program, sequence, alternative, loop), model of the problem (input data)
Time and space complexity algorithm runs on model of computer, count elementary operations and occupied memory cells, depends on size of input
Example: Fibonacci sequence simple recursive algorithm, algorithm with loop, with formula of Moivre-Binet
What is important? best case, average case, worst case
Time vs Space
Example search algorithms search in sorted and in unsorted list, search in hash table
Example sort algorithms selection sort, bubble sort, quick sort, merge sort
Complexity classes algorithms with similar costs, but what means "similar"? Big-O-Notation (Landau Symbols), tables and graphs of complexity classes, hierarchy of complexity classes
Polynomial vs exponential time complexity P vs NP
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| Landau Symbole (de) |
Deutsche Version von Landau Symbols
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| Landau Symbols (en) |
Big O formal definition, example
other Landau symbols Big Theta, Big Omega, small symbols
some important defining functions constant, logarithmic, square root, fractional power, linear, superlinear (loglinear), quadratic, polynomial, exponential
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| Ackermann function |
An Ackermann function definition, some values, a unary Ackermann function
What is it good for? primitive-recursive functions, 𝜇-recursive functions
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| busy beaver |
A new Turing machine definition, number of these machines
Some known and estimated values of the busy beaver funktion Busy beavers with 1 to 7 states
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| will it halt? (Python) |
Python-Programm will_it_halt.py mit dem das Halteproblem demonstriert werden kann. (Lösung: n)
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| Entscheidbarkeit und Berechenbarkeit (de) |
Deutsche Version von decidability and computability
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| decidability and computability |
The word problem characteristiv function
Computability Church Turing Thesis
Decidability decidable, recursive enumerable (semidecidable), undecidable
How many problems? How many Solutions? Cantor's diagonal argument
Insolvable problems
The halting problem The universal loop-checker, Post's correspondence problem, the equivalence problem
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| language security (pptx) |
A model of communication by Claude Shannon, sender and receiver, coding and decoding, role of language, misunderstandings, equivalence of languages
Role of automata and Chomsky's hierarchy
Decidable and undecidable languages
The interface problem
Lexer and parser Packrat parser
Status of actual languages HTML4, XHTML, HTML5+CSS3, SQL, TCP, HTTP, HTTPS, FTP, SMTP, POP, IMAP, DNP3, DNS, OpenSSH
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| formal logics |
Propositional logic propositional formuls, truth tables, satisfiable, valid, contradictory, check by proof, decidability
Predicate logic predicates, quantifiers, formulas, operators, syntax, university of discourse, decidability
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| truth tables |
Truth tables for 1 input variable contradiction, identity, negation, tautology
Truth tables for no input variables at all true, false
Truth tables for 2 input variable AND, OR, NAND, NOR, XOR implication, converse implication, equality, etc.
Size of truth tables any number of input variables
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| temporal logic (pptx) |
Motivation model checking an automaton that understands the concept of before, now and after; better: never, always, later
comparison with classical logic propositional and predicate logic
two-valuedness, extensionality true-false-unknown, fuzzy logic, modal logic (possible, necessary), temporal logic (time)
Lamport clock time is sequence of discrete states
new operators eventually, always, next time
Example Traffic lights
Kripke structures similar to finite state machine with actions and trasitions
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| Model Checking (2 ECTS) |
| safety vs security (pptx) |
Definition Unfallvermeidung, Kriminalprävention
Beispiel Notausgang Safety: Schütze die Menschen vor den Maschinen. Security: Schütze die Maschinen vor Menschen
Beispiel Blackout Der Unterschied existiert nur im Kopf des Verursachers (Absicht oder Versehen), am Ende werden immer Menschen vor Menschen geschützt
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| model checking basics (pptx) |
Grundlagen Modell, Spezifikation, erfüllt das Modell die Spezifikation?
Modell mathematische Beschreibung eines Systems (Software oder Hardware), ein logischer Ausdruck
Spezifikation formale (mathematische) Version des Pflichtenheftes, ein logischer Ausdruck
Verifikation mathematischer Beweis, dass das Modell die Spezifikation erfüllt
Durchführung des Beweises mit Modell-Checker, Modell und Spezifikation müssen in geeigneter Form vorliegen (Formalisierung)
Anwendungsbeispiel Model-Checker findet Schwachstelle in einem Protokoll, und liefert gleich ein Gegenbeispiel, das verwendet werden kann, um die Schwachstelle zu schließen
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| model checking beispiel (pptx) |
Beispiel Geldbehebung Übergangsdiagramm (Modell), Spezifikation, Verifikation, finden eines Gegenbeispiels
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| famous bugs (pptx) |
Mangelhafte Software Absturz der Ariana-5-Rakete, Bei medizinischer Bestrahlung sterben Menschen, Absturz Boing 737 Max, Kampfjet F-16 dreht sich am Äquator auf den Rücken, Kriegsschiff USS Yorktown wird wegen Division durch Null manövrierunfähig, Keine Schutzmaßnahmen weil Sturmwarnung ignoriert wurde, falsche Ergebnisse bei Olympischen Spielen, ...
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| model checking (pptx) |
Verifikation mit formalen Methoden
Beschreibung des Modells Universelle Programmiersprachen (C, Java), spezielle spezifizierungs-Sprachen (Pathfinder, Promela), Vergleich der Ansätze
Model Checker Promela und Spin, NuSMV, TLA+ UPPAAL, Java Pathfinder, ...
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| vom Programm zum Modell (pptx) |
Modell erstellen Programm-Code - Programm-Graph - Transition-Graph, Zustände im Transition-Graph
Typisierte Variablen Mögliche Typen, Evaluierung einer Variablen
Aktion Effekt einer Aktion
Programm-Graph vs. Transition-Graph
Run Durchführung eines Programms, gültige und ungültige Pfade, Länge von Pfaden im Graph und im Run
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| Verifikation (pptx) |
Beispiel parallele Prozesse Schreibender Zugriff auf dieselbe Variable, Zustandsexplosion, Transition Graph
Durchführen der Verifikation Suche nach Gegenteil, logische Formel erzeigen, die das Gegenteil beschreibt, dieses Gegenteil finden
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| Temporallogik (pptx) |
Klassische Logik Aussagenlogik, Prädikatenlogik, Zweiwertigkeit, Extensionalität
Nichtklassische Logik nicht zweiwertig (wahr - falsch - unbekannt, Fuzzy-Logic), nicht extensional (möglich - notwendig, vorher-nachher - immer-manchmal-nie - beim nächsten Mal)
Temporallogik zeitliche Abfolgen und Zusammenhänge
Lamport-Uhren Folge von aufeinanderfolgenden Zuständen
neue Operatoren irgendwann, immer, beim nächsten Mal
Beispiel Verkehrsampel
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| Kripke-Strukturen (pptx) |
Zustandsautomat deterministisch, nichtdeterministisch, Kripke
Beispiele Ampel, Geldbehebung, 2 Prozesse verändern dieselbe Variable
Kripke-Struktur lineare temporale Logik, Berechnungslogik, formale Definition (Zustände, Anfangszustand, Relationen, Labels)
Detailliertes Beispiel Waschmaschine
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